Cono

Se entiende por superficie cónica de revolución a la engendrada por una recta llamada generatriz que se mueve por un punto fijo llamado vértice.

También se puede definir una superficie cónica como la engendrada por una recta que gira alrededor de otra fija llamada eje, a la que corta en un punto fijo.

Por ejemplo, en cualquier triángulo rectángulo que gire alrededor de cualquiera de sus lados engendra una superficie cónica. Si gira alrededor de cualquiera de sus catetos engendra un cono y si gira alrededor de la hipotenusa, engendra dos conos pegados por sus bases)

Así, un cono consta de una base, que es un círculo, y una altura, cuya longitud es distinta de la generatriz

Ejemplo de cono recto

Y el desarrollo del cono es:

Desarrollo del cono

Para ir enfocando el cálculo de problemas cónicos, es conveniente tener en cuenta las siguientes consideraciones:

1. El triángulo que forman h, r y g es rectángulo, y permite relacionar las tres magnitudes fundamentales de un cono: radio (r), altura (h) y generatriz (g), por lo que habrá que tenerle presente.
2. Como se puede observar, el desarrollo de la superficie lateral del cono corresponde a un sector circular, cuya graduación (nº) es precisamente el ángulo cónico, que se obtiene como resultado de igualar la superficie lateral del cono a la superficie del sector circular correspondiente.

Sl = (πg²nº)/360

Pasamos entonces al estudio de las superficies y volúmenes de un cono.

La superficie lateral de un cono es igual a la mitad del producto de la longitud de la circunferencia de la base por su generatriz (área del sector circular que corresponde al desarrollo de su superficie lateral).

Sl = 2πrg/2 = πrg

La superficie total es la superficie lateral más el área de su base:

St = Sl + πr² → πrg + πr²

El volumen, como acaba el cono en «pico», es la superficie de su base por su altura, dividido por tres.

V = (S_B·h)/3 → (πr²·h)/3

Veamos un par de ejemplos:

Ejemplo 1

En un cono de revolución de 12 cm de generatriz y 4 cm de radio, tenemos que hallar su superficie lateral, total, volumen y la graduación del sector en que se transforma su superficie lateral al desarrollarla sobre un plano

Sl = πrg = π·4·12 = 48π cm²

St = Sl + πr² = 48π + π·4² = 48π + 16π = 64π

Para calcular el volumen es necesario obtener la altura h del cono mediante la aplicación del teorema de Pitágoras, en el triángulo rectángulo que forman h, r y g.

12² = h² + 4² → h² = 144 – 16 = 128 → h = √128 = 8√2 cm

Luego su volumen es:

V = (πr²h)/3 = (π·4²·8√2)/3 = (128√2π)/3 cm³

Para hallar la graduación del sector circular, hay que igualar la superficie lateral del cono a la superficie del sector (ten en cuenta que el radio del sector se corresponde con la generatriz del cono).

Sl = (πg²nº)/360 → 48π = (π·12²·nº)/360

Despejando nº:

nº = (48π·360)/(12²·π) = 120º

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Ejemplo 2

De un cono de revolución se conoce su altura de 4 cm y la suma de la generatriz y el radio de la base es 9 cm. Tenemos que hallar el volumen del cono.

Para hallar el volumen del cono necesitamos conocer el radio y la altura (la altura es dato).

Plantearemos un sistema de ecuaciones con las condiciones del problema para calcular el radio de éste:

g² = 4 + r² (aplicación de Pitágoras en el triángulo que forman h, r y g)

g + R = 9 → g = 9 – r

Sustituyendo en la primera ecuación:

(9 – r)² = 16 + r² → 81 + r² – 18r = 16 + r² → 65 = 18r

Por lo tanto:

r = 65/18 cm → g = 9 – (65/18) = 97/18 cm

Luego su volumen es:

V = (πr²h)/3 = [π(65/18)²·4]/3 = 16900π/972 cm³