Cualquier semicircunferencia que gira alrededor de su diámetro engendra una superficie llamada esférica. Al cuerpo que limita la superficie se le llama esfera, aunque ambas palabras se utilizan indistintamente para definir lo mismo.
También se puede definir la superficie esférica como el conjunto de puntos del espacio que equidistan de un punto fijo, llamado centro. Se entiende por radio de una esfera a cualquiera segmento que une el centro con cualquier punto de la superficie esférica y diámetro a cualquier segmento que pasando por el centro de la esfera tiene sus extremos situados en la superficie esférica.
Se llama tangente de la esfera en un punto de ella aquella que dista del centro de ésta, la longitud del radio y tiene la propiedad de ser perpendicular a éste en el punto de contacto.
Además, la perpendicular a la tangente de una esfera en su punto de contacto, recibe el nombre de normal.
Cualquier plano tangente a la esfera en un punto de ella recibe el nombre de plano tangente y es perpendicular al radio correspondiente al punto de contacto.
Cuando trazamos un plano cualquiera que corte a la esfera, éste produce en ella dos tipos de secciones, siendo ambas círculos. Si el centro de uno de estos círculos coincide con el centro de la esfera se le denomina círculo máximo, y si el centro del círculo es distinto del centro de la esfera se le llama círculo menor.
Se entiende por polos de un círculo máximo o menor de una circunferencia a los extremos del diámetro de la esfera perpendicular al círculo en cuestión. De esta forma, cualquier punto de un círculo de una esfera equidista de los polos. A la distancia rectilínea del polo a un punto cualquiera de un círculo se le llama distancia polar y al arco esférico correspondiente se le denomina radios esférico.
A la vista de lo explicado, podemos hacer las siguientes conclusiones:
- Para definir un círculo menor de una esfera, son necesarios tres puntos de éste.
- Para definir un círculo máximo de una esfera, bastan dos puntos, ya que el otro es conocido (el centro de la esfera).
- Cualquier círculo máximo divide a la esfera en dos partes iguales.
- Todos los círculos máximos de una esfera son iguales.
- Para que un círculo máximo y un círculo menor sean perpendiculares es necesario que el círculo máximo pase por los polos del círculo menor.
- Cualquier diámetro de la esfera puede considerarse como eje de revolución de la misma.
- Una recta cualquiera no puede cortar a la esfera en más de dos puntos (si es secante en dos puntos, y si es tangente en un punto)
En las coordenadas geográficas en donde la Tierra se considera como esfera, el círculo máximo horizontal recibe el nombre de ecuador y a los círculos menores paralelos al ecuador se les llama paralelos. Los círculos máximos perpendiculares al ecuador se les llama meridianos.
Cualquier punto situado en la Tierra se determina por su paralelo (que indica la latitud del punto; Norte o Sur), tomando como origen al ecuador y por su meridiano (que indica la longitud del punto; Este u Oeste) tomando como origen el meridiano de Greenwich.
La esfera es una figura que no admite como las anteriores un desarrollo perfecto sobre una superficie plana; sin embargo, existen procedimientos aproximados que permiten su desarrollo y que consisten fundamentalmente en circunscribir cilindros o conos a la superficie esférica proyectando sobre éstos todos los puntos de la esfera para posteriormente desarrollar el cilindro o cono sobre una superficie plana.
La utilización de un cilindro o un cono como figuras auxiliares para efectuar el desarrollo de una esfera está condicionado al grado de aproximación que se requiera.
Como esta entrada parece ya bastante extensa, voy ya a definir el cálculo de la superficie y del volumen de una esfera:
S = 4πR²
V = (4/3)πR³
Un par de ejemplos, para finalizar:
Ejemplo 1
Tenemos que hallar el área y volumen de una esfera de 3 m de radio.
Aplicando las fórmulas:
S = 4πR² = 4π·3² = 36π m²
V = (4/3)·πR³ = (4/3)·π·3³ = 36π m³
Ejemplo 2
Dos globos tienen 3 y 6 cm de radio. Tenemos que averiguar el radio de otro globo cuyo volumen sea la suma de los otros dos.
Formaremos una ecuación con la condición propuesta.
(4/3)π·3³ + (4/3)π·6³ = (4/3)πR³
Dividiendo toda la ecuación por (3/4)·π se obtiene:
27 + 16 = R³ → 243 = R³
Por lo que R es:
R = 3∛9
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