Ecuación explícita de la recta y ecuación implícita de la recta

Ecuación explícita

Despejando y de la ecuación forma punto-pendiente de la recta:

y – y₀ = m(x – x₀) ⇒ y = mx – mx₀ + y₀

Llamando p a -mx0 + y0, que es un número conocido, resulta:

 y = mx + p

Ésta es la llamada ecuación explícita de la recta.

Al número p se le llama ordenada en el origen de la recta. En la ecuación y = mx + p, haciendo x = 0, resulta y = m·0 + p = p. Por tanto, la recta pasa por el punto (0, p), de aquí el nombre que se le da a p.

Ecuación general o implícita

Si a partir de cualquiera de las ecuaciones de la recta se trasladan todos los términos al primer miembro, se obtiene una ecuación de la forma Ax + By + C = 0, donde A, B y C son números conocidos y x e y son incógnitas.

En esta ecuación conviene considerar dos casos:

1. Si B = 0, la ecuación es Ax + C = 0, y despejando x, tenemos x=-C/A. La recta es paralela al eje de ordenadas y su inclinación es, en consecuencia, 90º.
2. Si B ≠ 0, se despeja y en la ecuación Ax + By + C = 0; By = – Ax – C, y dividiendo entre B, tenemos que y = – (A/B)x – C/B. Comparando esta igualdad con la ecuación explícita ya explicada, y = mx + p, podemos deducir que m = – A/B y p = – C/B.