Ejercicios de cálculo de ecuación de rectas

Un par de ejemplos para comprender mejor lo explicado (por ahora) en esta sección.

Ejercicio 1

Tenemos que hallar las ecuaciones paramétricas, continua, punto-pendiente, general y explícita de la recta que contiene al punto P(3, – 2) y es paralela al vector u(1, -3). Calcular su pendiente y su origen.

Resolución

• Ecuaciones paramétricas:

x = 3 + t

y = – 2 – 3t

• Ecuación continua:

(x – 3)/1 = (y + 2)/-3

• Ecuación punto pendiente:

Si quitamos denominadores de la igualdad anterior,

y + 2 = -3(x – 3)

• Ecuación general:

Suprimiendo paréntesis en la igualdad anterior y pasando todo al primer miembro:

y + 2 = – 3x + 9 ⇒ 3x + y + 2 – 9 = 0,

3x + y – 7 = 0

• Ecuación explícita

Despejando y en la última igualdad:

y = – 3x + 7

• La pendiente de la recta es m = – 3 y su ordenada en el origen es p = 7. Date cuenta de que la pendiente se conoce sabiendo cuál es el vector dirección:

u(1, -3), m = – 3/1 = – 3

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Ejercicio 2

Tenemos que hallar las ecuaciones de una recta cuya ecuación explícita es y = 3x – 2

Resolución

• Pasando – 2 al primer miembro, y + 2 = 3x, que puede escribirse:

y + 2 = 3(x – 0), ecuación punto pendiente.

• Dividiendo entre 3 los dos miembros:

(y + 2)/3 = (x – 0)/1, ecuación continua

• Igualando ambas fracciones a t y despejando x e y:

(y + 2)/3 = t ⇒ y + 2 = 3t ⇒ y = – 2 + 3t

(x – 0)/1 = t ⇒ x – 0 = t ⇒ x = 0 + t

Éstas serían las ecuaciones paramétricas

• Si en la ecuación explícita se pasa todo el segundo miembro al primero, se obtiene la ecuación general o implícita

-3x + y + 2 = 0