Ecuación canónica y representación de una recta

Ecuación canónica de una recta

La ordenada en el origen de una recta es la ordenada del punto de la recta cuya abscisa es cero. Es de la forma (0, p).

La abscisa en el origen de una recta es la abscisa del punto cuya ordenada es cero. Es de la forma (l, 0).

Suponiendo que una recta tiene ordenada en el origen y abscisa en el origen, la ecuación de esta recta, que pasa por (0, p) y (l, 0), será:

(x – 0)/l = (y – p)/-p ⇒ x/l = – (y/p) + p/p

Por lo que:

x/l + y/p = 1

Ésta es la ecuación canónica de la recta.

Representación de una recta

Una recta queda determinada por dos puntos. Esto es, conocidos dos puntos, basta unirlos con una regla para tener trazada la recta.

Veamos un par de ejemplos.

Ejemplo 1

Tenemos que hallar los puntos de las siguientes rectas para poder representarlas:

r:

x = 2 – 3t

y = 1 + t

---

s:

2x – 3y + 5 = 0

---

t:

(x – 2)/3 = (y + 1)/2

Resolución

Para la recta r:

Para t = 0, se obtiene el punto (2, 1)

Para t = 1, se obtiene el punto (-1, 2)

Para la recta s:

Para x = 0, y = 5/3. Punto(0, 5/3)

Para y = 0, x = -5/2. Punto(-5/2, 0)

Para la recta t:

Para x = 2, y = – 1. Punto(2, -1)

Para y = – 3, x = 5. Punto(5, -3)

Para representar estas rectas, sólo tienes que colocar los puntos obtenidos para cada una de ellas, y unirlos una línea recta.

Ejemplo 2

Tenemos que hallar la ordenada y la abscisa en el origen de la recta de ecuación general Ax + By + C = 0. También tenemos que escribir su ecuación canónica

Resolución

• Ax + By + C = 0 ⇒ By = – Ax – C ⇒ y = (-A/B)x – C/B

La pendiente es -A/B

• Ordenada en el origen: (0, p).

Para x = 0, y = – C/B, luego la ordenada en el origen es – C/B.

• Abscisa en el origen: (l, 0)

Para y = 0, -(A/B)x – C/B = 0 ⇒ (C/B)/(-A/B) = – C/A, que es la abscisa en el origen

• La ecuación canónica es:

x/(-C/A) + y/(-C/B) = 1