Ángulo de dos rectas

Sea r una recta de pendiente m e inclinación α.

Sea s una recta de pendiente m’ e inclinación β.

Se trata de calcular el ángulo γ que forman las dos rectas.

Se considera el triángulo formado por r, s y el eje de abscisas.

El ángulo α es el ángulo exterior de dicho triángulo, por lo cual es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes, es decir:

α = β + γ, de donde γ = α – β

Como tg α = m y tg β = m’, y tg γ = tg(α – β) = (tg α – tg β)/(1 + tg α · tg β) = (m – m’)/(1 + mm’)

Así pues:

tg γ = (m – m’)/(1 + mm’)

Una observación importante

Como al cruzarse dos rectas se forman dos ángulos distintos, se considera que el ángulo que forman las rectas es el agudo, por lo que si saliese negativa la tangente, habría que cambiarla de signo (recuerda que las tangentes de dos ángulos suplementarios son opuestas). Así pues, la fórmula correcta será:

tg γ = |(m – m’)/(1 + mm’)|

Perpendicularidad de rectas

La condición para que dos rectas sean perpendiculares es que el producto de sus pendientes sea – 1.

Demostración

Un ángulo recto no tiene tangente, lo cual traducido a la fórmula anterior ocurre únicamente si el denominador es 0. Así, las dos rectas son perpendiculares si 1 + mm’ = 0, o lo que es lo mismo, mm’ = -1

Un par de ejemplos (como siempre)

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Ejemplo 1

Tenemos que hallar el ángulo que forman las rectas:

r: 2x – 3y + 5 = 0

s: x + 4y – 2 = 0

Resolución

Pendiente de r: m = – A/B = 2/3

Pendiente de s: m’ = – A’/B’ = – 1/4

Por tanto:

tg γ = | (2/3 + 1/4)/[1 – (2/3)·(1/4)] = 1,1 (aprox.)

Así pues γ = 47º 43′ 34»

Ejercicio 2

Dados la recta  r: 2x + y – 3 = 0 y el punto (3, 5), tenemos que hallar la ecuación de la recta que contiene al punto y es perpendicular a r.

Resolución

• Se halla la pendiente de la recta dada m = – A/B = – 2
• Para que las rectas sean perpendiculares ha de ser:

m·m’ = – 1 ⇒ m’ = – 1/m = 1/2

• Conocidos un punto y la pendiente de la recta, se halla su ecuación punto-pendiente:

y – 5 = (1/2)·(x – 3)