Lugares geométricos

Se llama lugar geométrico a cualquier conjunto de puntos que vienen caracterizados por una cierta propiedad.

Por ejemplo, el lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a distancia fija r de un punto señalado, O, es la circunferencia centrada en O y con radio r.

El lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a igual distancia de dos puntos dados es la mediatriz del segmento que los une.

El lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a una distancia fija de una recta, es un conjunto formado por dos rectas paralelas a la recta dada.

Ecuación de un lugar geométrico

Para hallar la ecuación de un lugar geométrico se toma un punto genérico X de coordenadas (x, y) y se intenta escribir la ecuación que define el lugar. Veamos un par de ejemplos

Ejemplo 1

Tenemos que hallar la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son los puntos A(2, 3) y B(-2, 7)

Resolución

La mediatriz es el lugar geométrico de los puntos equidistan de los puntos A y B. Se puede, por tanto, aplicar el criterio de los lugares geométricos.

• Se elige un punto arbitrario X(x, y),

Su distancia a A es d(X, A) = √[(x – 2)² + (y – 3)²]

La distancia a B es d(X, B) = √[(x + 2)² + (y – 7)²]

• La condición para que el punto pertenezca a la mediatriz es que ambas distancias sean iguales:

√[(x – 2)² + (y – 3)²] = √[(x + 2)² + (y – 7)²]

Eliminando radicales:

(x – 2)² + (y – 3)² = (x + 2)² + (y – 7)²

Desarrollando los cuadrados:

x² – 4x + 4 + y² – 6x + 9 = x² + 4x + 4 + y² – 14x + 49

• Y despejando obtenemos:

-8x + 8y – 40 = 0, que es la ecuación de la mediatriz

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Ejemplo 2

Tenemos que hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia a la recta 2x – y + 5 = 0 es el doble que la distancia a la recta x + 2y – 6 = 0

Resolución

• Se toma un punto genérico X(x, y)

Su distancia a cada una de las rectas es:

d = |2x – y + 5|/√(2² + 1²) , d’ = |x + 2y – 6|/√(1² + 2²)

• La condición que define al lugar geométrico es d = 2·d’:

|2x – y + 5|/√5 = 2·[|x + 2y – 6|/√5]

Obtenemos, al eliminar denominadores:

|2x – y + 5| = |2x + 4y – 12|

Para que dos expresiones tengan el mismo valor absoluto, recuerda que es preciso que sean iguales u opuestas. Tenemos, por lo tanto, dos soluciones:

2x – y + 5 = 2x + 4y – 12 ⇒ 5y – 17 = 0

2x – y + 5 = -2x – 4y + 12 ⇒ 4x + 3y – 7 = 0